关于环链的 H. Martens 定理的研究

设 $\Gamma$ 为亏格 $g$ 的环链。设 $d$、$r$ 为整数，满足 $1 \leq r \leq g-2$ 且 $2r \leq d \leq g-3+r$。则 $w^r_d(\Gamma)=d-2r$ 意味着 $\Gamma$ 是超椭圆的。对于每个 $g \geq 2r+3$，存在满足 $w^r_{g-2+r}(\Gamma)=g-2-r$ 的非超椭圆环链。在代数曲线的情况下，这种相等意味着该曲线是超椭圆的。特别地，我们得到了在 $r \geq 2$ 的情况下存在环链 $\Gamma$ 使得 $w^r_{g-2+r}(\Gamma) \neq w^1_{g-r}(\Gamma)$。在代数曲线的情况下，由于 Riemann-Roch 定理，这些数是相等的。