某些Hill方程复振荡理论的Galois方法

我们应用微分 Galois 理论中的 Kovacic 算法，证明由 Bank 和 Laine 利用 Nevanlinna 理论考虑的某些 Hill 方程的所有复非振荡解（零点的有限指数收敛）必为 Liouvillian 解。即解可通过适当的微分域扩张构造获得。特别地，我们建立了某一特定 Hill 方程的非振荡型解与 Liouvillian 解之间的完全对应。利用两种方法得到了该 Hill 方程的显式闭式解，其在 Bank-Laine 理论中的势含有四个指数函数。该微分方程是双汇合 Heun 方程的周期形式。我们进一步表明，这些 Liouvillian 解展现出新颖的单重和双重正交性，以及在 $\mathbf{C}$ 中合适积分区域上的 Fredholm 积分方程，其模仿了近一个世纪前 Whittaker 和 Ince 发现的 Lam\'e 和 Whittaker-Hill 方程相应 Liouvillian 解的单重/双重正交性。