奇数 $n$ 下类型为 $A_{n}, D_{n}, E_{n}$ 的伽罗瓦迹形式

设 $p$ 为奇素数且 $\zeta_{p} := \exp(2\pi i/p)$。众所周知，$A_{p-1}$-根格可实现为 $p$ 次分圆扩张 $\mathbb{Q}(\zeta_{p})/\mathbb{Q}$ 限制到由 $(1-\zeta_{p})^{-(p-3)/2}$ 生成的分数理想上的（Hermitian）迹形式。本文与 $A_{p-1}$-根格的情形相反，证明如下定理：设 $n$ 为奇正整数且 $F/\mathbb{Q}$ 为 $n$ 次伽罗瓦扩张。则不存在 $F$ 的分数理想 $\Lambda$ 使得限制迹形式 $(\Lambda, \mathrm{Tr}|_{\Lambda \times \Lambda})$ 为类型 $A_{n}, D_{n}, E_{n}$。证明通过对 $F$ 的分数理想的素理想分解并留意特定的 2-进阻碍完成。此外，我们证明每个循环三次域包含无穷多个具有正规 $\mathbb{Z}$-基的类型 $A_{3}$（即正规面心立方格）的不同子 $\mathbb{Z}$-格。后一事实与另一事实形成对比：在二次域中仅 $\mathbb{Q}(\sqrt{\pm3})$ 包含类型 $A_{2}$ 的子 $\mathbb{Z}$-格。