$G$-Hirzebruch 曲面中的$G$-极小性与不变负球

本文启动了关于$G$-极小性（即配备有限群$G$作用的四维流形的极小性）的研究。我们专注于$CP^2\# \overline{CP^2}$上的循环作用，我们的工作表明，即使在这种简单的设定下，比较不同范畴（即局部线性、光滑和辛范畴）中的$G$-极小性也是微妙且有趣的。例如，我们证明了如果$CP^2\# \overline{CP^2}$上的辛$Z_n$作用拥有一个不变的局部线性拓扑$(-1)$-球，那么当$n=2$或$n$为奇数时，它必然容许一个不变的辛$(-1)$-球。对于$n>2$且为偶数的情况，在更强的假设下（即不变$(-1)$-球是光滑嵌入的），同样的结论也成立。在这些证明的过程中，我们发展了一些技术，用于在相对于群阶$n$较小的$r$值下，基于不变光滑$(-r)$-球的较弱假设，生成自交数为$-r$的嵌入不变$J$-全纯二维球面。随后，我们应用这些技术对$G$-Hirzebruch 曲面（即配备同调平凡、全纯$G=Z_n$作用的 Hirzebruch 曲面）进行了分类，分类依据是保向等变微分同胚。分类的主要问题在于区分具有相同不动点集结构的非微分同胚$G$-Hirzebruch 曲面。一个有趣的发现是，这些非微分同胚的$G$-Hirzebruch 曲面具有不同的等变 Gromov-Taubes 不变量，提供了此类情形的首个例子。回到关于$G$-极小性的原始问题，我们证明了对于$G=Z_n$，一个极小有理$G$-曲面作为辛$G$-流形是极小的，当且仅当它作为光滑$G$-流形是极小的。