一类具有奇异系数的三维椭圆方程的基本解

我们考虑在区域 ${\bf R}_3^ + \equiv {{({x,y,z}): x > 0, y > 0, z > 0}}$ 中的方程 $$L_{\alpha ,\beta ,\gamma} (u) \equiv u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} + \displaystyle \frac{{2\alpha}}{x}u_x + \displaystyle \frac{{2\beta}}{y}u_y + \displaystyle \frac{{2\gamma}}{z}u_z = 0$$。这里 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 是常数，且 $0 < 2\alpha, 2\beta, 2\gamma < 1$。本文的主要结果是以上述方程显式形式构造八个基本解。它们由含三个变量的 Lauricella 超几何函数表示。利用 Gauss 超几何函数乘积对 Lauricella 超几何函数进行展开，证明了所求得的解在 $r \to 0$ 时具有 $1/r$ 阶奇异性。