Wigner矩阵的函数型中心极限定理

我们考虑Wigner矩阵$W$的正则函数$f$视为整体矩阵$f(W)$时的涨落。超越已被充分研究的迹模式$\mathrm{Tr}[f(W)]$（其等价于惯常的特征值线性统计量），我们证明对于任意非平凡有界确定性矩阵$A$，$\mathrm{Tr}[A f(W)]$是渐近正态的。我们辨识出该涨落在整个介观尺度下的三种不同且渐近独立的模式，分别对应于$f(W)$的迹部分、无迹对角部分和非对角部分，其中我们发现非对角模式的涨落尺度远小于迹模式。此外，我们确定了本征态热化假设[Deutsch 1991]中的涨落，即证明任意确定性矩阵的本征函数重叠在经过小的谱平均后是渐近高斯的。特别地，在宏观尺度下，我们的结果将[Lytova 2013]推广到复$W$以及其间的所有交叉系综。主要的技术输入来自伴生论文[Cipolloni, Erd\H{o}s, Schr\"oder 2020]中带无迹确定性矩阵的最新多分解局部律。