分数阶 Korteweg-de Vries 方程的全离散有限差分格式

在本文中，我们提出并分析了为求解涉及分数阶拉普拉斯算子的分数阶 Korteweg-de Vries (KdV) 方程初值问题而设计的全离散有限差分格式。我们通过引入与连续算子一致且具有某些对收敛性分析至关重要的性质的离散分数阶拉普拉斯算子来设计格式。假设初始数据 $u_0 \in H^{1+\alpha}(\mathbb{R})$，其中 $\alpha \in [1,2)$，我们的研究建立了由全离散有限差分格式获得的近似解对分数阶 KdV 方程经典解的收敛性。理论结果通过针对分数指数 $\alpha$ 不同取值的若干数值算例得到验证。此外，我们证明了 Crank-Nicolson 有限差分格式在保持固有守恒量的同时，具有改进的收敛速率。