具有光滑与非光滑初值的 KdV 方程守恒 Crank-Nicolson 有限差分格式的收敛性

在本文中，我们研究了与 Korteweg-De Vries (KdV) 方程初值问题相关的全离散有限差分格式的稳定性和收敛性。我们采用 Crank-Nicolson 方法进行时间离散化，并证明该格式是 $L^2$-守恒的。收敛性分析表明，利用固有的 Kato 局部平滑效应，对于足够正则的初值 $u_0 \in H^{3}(\mathbb{R})$，所提出的格式收敛于经典解；而对于非光滑初值 $u_0 \in L^2(\mathbb{R})$，则收敛于 $L^2(0,T;L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}))$ 中的弱解。推导出了所设计格式在时间和空间上的最优收敛率。理论结果通过若干数值算例得到了验证。