图的稀疏超图染色方法下的贫穷染色

若图G中每个顶点的邻域内每个颜色出现的次数最多为β，则对G进行proper染色称为β-贫穷染色。记χ_β(G)为完成β-贫穷染色所需的最少颜色数。对于固定的β值，Hind等人证明χ_β(G) = O(Δ(G)^{1 + 1/β)，而Alon提供的构造证明了该上界在常数因子上是紧致的。我们证明，对于所有固定的β ≥ 2和t ≥ 2，若G不包含C_{2t}作为子图，或若G不包含K_{β,t}作为子图，则χ_β(G) = O(Δ(G)^{1 + 1/β} / (logΔ(G))^{1/β})。此外，我们证明这些上界由于存在最大度数Δ可任意大的图G（具有任意girth）使得χ_β(G) = Ω(Δ^{1 + 1/β} / (logΔ)^{1/β})，因此在常数因子上是紧致的。上界由Li和Postle的稀疏超图染色定理获得。