从 Knothe 重排到 Brenier 最优传输映射

Nicolas Bonnotte

从 Knothe 重排到 Brenier 最优传输映射

最优化与控制 2012-09-26 v2 偏微分方程分析

作者: Nicolas Bonnotte

摘要

Brenier 最优映射和 Knothe-Rosenblatt 重排是传输映射的两个实例，即将一个测度发送到另一个测度的映射。前者的主要意义在于它解决了 Monge-Kantorovich 最优传输问题，而后者由于由显式公式给出，非常容易计算。几年前，Carlier、Galichon 和 Santambrogio 证明了 Knothe 重排可以看作是二次代价退化时 Brenier 映射的极限。在本文中，我们证明在环面上（以避免边界问题），当所有数据都是光滑的时，其演化也是光滑的，并且完全由 Kantorovich 势（决定了该映射）的一个带有微妙初始条件的 PDE 所决定。该证明需要使用 Nash-Moser 反函数定理。这一结果推广了 Carlier、Galichon 和 Santambrogio 在一个测度为均匀分布而另一个为离散分布时所发现的 ODE，并可能为最优传输的新数值方法铺平道路。

关键词

最优传输 Brenier 映射 Knothe-Rosenblatt 重排 Monge-Kantorovich 问题 Kantorovich 势 Nash-Moser 定理

引用

@article{arxiv.1205.1099,
  title  = {From Knothe's rearrangement to Brenier's optimal transport map},
  author = {Nicolas Bonnotte},
  journal= {arXiv preprint arXiv:1205.1099},
  year   = {2012}
}

备注

This work is part of a PhD thesis supervised by Luigi Ambrosio (SNS, Pisa) and Filippo Santambrogio (Univ. Paris-Sud)

从 Knothe 重排到 Brenier 最优传输映射

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