非线性控制系统在 Rd 上的最优传输的 Benamou-Brenier 公式

本文考虑非线性仿射控制系统在 $\Rd$ 上的 Benamou-Brenier 最优传输公式，摆脱了底层流形在先前工作中对紧凑性假设的限制。通过采用 Bernard 的基于 Young 测度的弱最优传输公式，结果适用于之前采用 Monge 问题处理的范围之外的情形。特别地，不对是否存在奇异最小控制或费用函数是否 Lipschitz 作出假设。因此，建立了动态公式解的存在性，适用于文献中尚未覆盖的一般亚黏性能量费用。结果还证明了在相应的康托尔斯基问题存在可行解时，连续性方程的可控性，利用了康托尔斯基公式与 Benamou-Brenier 公式之间的等价性。此外，当费用函数不存在奇异最小曲线时，我们展示 Benamou-Brenier 问题等价于其在动量和测度坐标上的凸化公式。在该正则化情形下，我们进一步表明所构建的传输解具有充分的正则性：对于实现传输的反馈控制律，相关连续性方程 admits unique weak solution。这些发现特别适用于可控线性时不变 (LTI) 系统的线性-二次费用，以及某些无漂移非线性系统的类目。因此，在这些情况下，连续性方程的可控性通过足以保证解唯一性的控制律实现。