从抽象α-Ramsey理论到抽象超Ramsey理论

我们在Benci和Di Nasso引入的Alpha理论框架下工作。Alpha理论为一个无穷“理想”数$\alpha$设定了若干自然性质。该表述为抽象超Ramsey理论的方法提供了初等公理化。主要结果为定理10、定理57、定理67和定理73。定理10是著名的Ramsey定理的无限维推广。我们证明该结果的推论包括Galvin-Pirky定理、Silver定理和$\vec{\alpha}$-Ellentuck定理。我们证明，在$\mathfrak{c}^{+}$-放大性质假设下，$\vec{\alpha}$-Ellentuck定理等价于Todorcevic的Ultra-Ellentuck定理。定理57是将定理10抽象到三元组$(\mathcal{R},\le,r)$的情形，其中$\mathcal{R}\not=\emptyset$，$\le$是$\mathcal{R}$上的拟序，$r$是定义域为$\mathbb{N}\times \mathcal{R}$的函数。我们利用定理57发展了抽象$\vec{\alpha}$-Ellentuck定理（定理67）和抽象超Ellentuck定理（定理73），分别沿着$\vec{\alpha}$-Ellentuck定理和超Ellentuck定理推广Ellentuck定理的相同思路推广了抽象Ellentuck定理。最后给出一些阐释该理论的例子，以及一个与Di Prisco、Mijares和Nieto发展的局部Ramsey理论相关的开放问题。