自由 $\Omega$-Rota-Baxter 系统与 Gröbner-Shirshov 基

本文提出 $\Omega$-Rota-Baxter 系统的概念，它是 Rota-Baxter 系统与零权 $\Omega$-Rota-Baxter 代数的推广。在算子代数的框架下，针对扩张双结合半群 $\Omega$，借助括号词与 Gröbner-Shirshov 基方法，我们得到了自由 $\Omega$-Rota-Baxter 系统的一个线性基。作为应用，我们引入 Rota-Baxter 系统族代数与匹配 Rota-Baxter 系统作为 $\Omega$-Rota-Baxter 系统的特例，并构造其自由对象。同时，以新方法重构了零权自由 $\Omega$-Rota-Baxter 代数、自由 Rota-Baxter 系统、自由 Rota-Baxter 族代数与自由匹配 Rota-Baxter 代数。