自由 Jordan 代数与 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2(J)$ 的表示

设 $J$ 为一个单位 Jordan 代数，设 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2(J)$ 为其 Tits-Kantor-Koecher Lie 代数的普适中心扩张。在第 A 部分，我们研究 $(\widehat{\mathfrak{sl}}_2(J), SL_2(K))$-模的类别。我们描述了支配 $J$-空间，这些空间类似于经典情形下支配最高权。引入并研究了与此类模的一个由 $J$ 关联的普适包络族 $\mathcal{U}_n(J)$。我们还证明了一些有限性定理。在第 C 部分，我们为增广 Jordan 代数 $J$ 定义平滑 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2(J)$-模的概念，并致力于受 Cline-Parshall-Scott 最高权类别精神对平滑模的类别进行探讨。我们表明该类别的标准模在 $J$ 为有限生成时是有限维的。当 $J$ 为 $D$ 变量上的自由单位 Jordan 代数 $J(D)$ 时，平滑 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2(J(D))$-模中具有偶特征值的模的类别可能形成一个广义最高权类别，但我们证明这一断言会与最近关于自由 Jordan 代数增长性质的结果相矛盾。参见 [24] 和 [13] 了解更多细节。因此，当 $D\geq 2$ 时，平滑 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2(J(D))$-模中具有偶特征值的模的类别不是广义最高权类别。令人惊讶的是，这些结果的大多数证明都依赖于 E. Zelmanov 的深刻定理。