扩展高斯函数的 Zak 变换的帧集与零点

设 $a,b,c\in\mathbb C$ 且 $\re(a)<0$，我们证明扩展高斯函数 $e^{ax^2+bx+c}$ 具有最大帧集（即其帧集恰好由所有满足 $\alpha\beta<1$ 的正数对 $(\alpha,\beta)$ 组成），且其 Zak 变换在单位平方 $[0,1)^2$ 中具有唯一一个简单零点（特别地，当 $b=0$ 时，零点位于单位平方的中心）。这些陈述扩展了普通高斯（即 $a<0$ 且 $b,c\in\mathbb R$ 的情况）的相同结果，并添加了更多观察到的实例：如果连续的维克函数具有最大帧集，则其 Zak 变换在单位平方中具有唯一简单零点。帧集最大性的证明结合了微测量表示与标准高斯的经典密度结果。唯一性零点的证明依赖于 theta 函数的性质。