具有规定范数的框架完备化：局部极小值与全局极小值及其应用

设 $\mathcal F_0=\{f_i\}_{i\in\mathbb{I}_{n_0}}$ 为 $\mathbb C^d$ 中的有限向量序列，$\mathbf{a}=(a_i)_{i\in\mathbb{I}_k}$ 为正数有限序列。我们考虑通过附加 $\mathbb C^d$ 中满足 $\|g_i\|^2=a_i$（对 $i\in\mathbb{I}_k$）的向量序列 $\cal G=\{g_i\}_{i\in\mathbb{I}_k}$ 而得到的 $\cal F_0$ 的完备化形式 $\cal F=(\cal F_0,\cal G)$，并赋予该完备化集合度量 $d(\cal F,\tilde {\mathcal F}) =\max\{ \,\|g_i-\tilde g_i\|: \ i\in\mathbb{I}_k\}$，其中 $\tilde {\cal F}=(\cal F_0,\,\tilde {\cal G})$。在此背景下，我们证明由严格凸函数 $\varphi$ 诱导的凸势函数 $\text{P}_\varphi$ 在完备化集合上的局部极小值也是全局极小值。当 $\varphi(x)=x^2$ 时，$\text{P}_\varphi$ 即为 Benedetto 和 Fickus 引入的所谓框架势，我们的工作推广了关于该势函数的若干已知结果。我们揭示了具有规定范数的框架完备化问题与框架算子距离（FOD）问题之间的密切联系，并利用这一联系及我们的结果，正面解决了 Strawn 关于 FOD 猜想的一个推广版本。