基于多重设计的最佳多值逼近

设 ${\mathbf d} =(d_j)_{j\in\mathbb{I}_m}\in \mathbb{N}^m$ 为一个递减的有限正整数序列，$\alpha=(\alpha_i)_{i\in\mathbb{I}_n}$ 为一个有限且非增的正权重序列。给定一族 $\Phi^0=(\mathcal{F}_j^0)_{j\in\mathbb{I}_m}$，其中对每个 $1\leq j\leq m$ 有 Bessel 序列 $\mathcal{F}_j^0=\{f_{i,j}^0\}_{i\in \mathbb{I}_k}\in (\mathbb{C}^{d_j})^k$，本文的主要目的在于刻画 $\Phi^0$ 中各元素的帧算子 $m$-元组在所谓的 $(\alpha,\mathbf d)$-设计集合 $D(\alpha,\mathbf d)$ 中的最佳逼近元，其中 $(\alpha,\mathbf d)$-设计是指满足如下条件的 $m$-元组 $\Phi=(\mathcal{F}_j)_{j\in\mathbb{I}_m}$：每个 $\mathcal{F}_j=\{f_{i,j}\}_{i\in\mathbb{I}_n}$ 是 $\mathbb{C}^{d_j}$ 中的有限序列，且对 $i\in\mathbb{I}_n$ 有 $\sum_{j\in\mathbb{I}_m}\|f_{i,j}\|^2=\alpha_i$。具体而言，本文完全刻画了联合帧算子距离（JFOD）函数 $\Theta:D(\alpha,\mathbf d)\to \mathbb{R}_{\geq 0}$ 的极小元：$$\Theta(\Phi)=\sum_{j=1}^m \| S_{\mathcal{F}_j} - S_{\mathcal{F}^0_j}\|_2^2 \,,$$ 其中 $S_{\mathcal{F}}$ 表示 $\mathcal{F}$ 的帧算子，$\|\cdot\|_2$ 为 Frobenius 范数。事实上，我们证明了 $\Theta$ 的局部极小元亦为全局极小元，并给出了构造最优 $(\alpha,\mathbf d)$-设计的算法。作为主结果的应用，在 $m=1$ 的特殊情形下，我们也刻画了 He、Leng 和 Xu 近期所考虑的一类 G-框架问题的全局极小元。