乘法型 Lidskii 不等式与框架的最优扰动

本文研究了框架理论中的两个设计问题：一方面，给定 $\hil\cong\C^d$ 上的一个固定有限框架 $\cF$，我们在对 $\cG$ 元素范数的某些限制下，计算 $\cF$ 的那些作为其典范对偶框架最优扰动的对偶框架 $\cG$。另一方面，对于 $\hil$ 上的一个固定有限框架 $\cF=\{f_j\}_{j\in\In}$，我们计算那些使得 $V^*V$ 为单位算子扰动的可逆算子 $V$，且使得框架 $V\cdot \cF=\{V\,f_j\}_{j\in\In}$（其等价于 $\cF$）在 $\cF$ 的此类扰动中是最优的。在这两种情况下，最优性均是相对于框架算子特征值的次主要化 (submajorization) 来衡量的。因此，我们的最优设计是一族凸势能的极小值点，该族势能包括框架势能 (frame potential) 和均方误差。这些结果的关键工具是关于对数主要化 (log-majorization) 的 Lidskii 不等式的乘法类比及其等号成立情形的刻画。