带有权重限制的多任务设备的最优框架设计

设 $\mathbf d=(d_j)_{j\in\mathbb I_m}\in\mathbb N^m$ 为一个有限序列（维度），$\alpha=(\alpha_i)_{i\in\mathbb I_n}$ 为一个正数序列（权重），其中对于 $k\in\mathbb N$，$\mathbb I_k=\{1,\ldots,k\}$。我们引入 $(\alpha\, , \,\mathbf d)$-设计，即 $m$ 元组 $\Phi=(\mathcal F_j)_{j\in\mathbb I_m}$，使得 $\mathcal F_j=\{f_{ij}\}_{i\in\mathbb I_n}$ 是 $\mathbb C^{d_j}$ 中的有限序列，$j\in\mathbb I_m$，并且非负数序列 $(\|f_{ij}\|^2)_{j\in\mathbb I_m}$ 构成 $\alpha_i$ ($i\in\mathbb I_n$) 的一个划分。我们根据主要化关系刻画了具有预定性质的 $(\alpha\, , \, \mathbf d)$-设计的存在性。我们通过一个有限步算法证明，存在普遍最优的 $(\alpha\, , \, \mathbf d)$-设计 $\Phi^{\rm op}=(\mathcal F_j^{\rm op})_{j\in\mathbb I_m}$；也就是说，对于每个凸函数 $\varphi:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$，$\Phi^{\rm op}$ 在所有 $(\alpha\, , \, \mathbf d)$-设计中最小化由 $\varphi$ 诱导的联合凸势，即 $$\sum_{j\in\mathbb I_m}\text{P}_\varphi(\mathcal F_j^{\rm op})\leq \sum_{j\in \mathbb I_m}\text{P}_\varphi(\mathcal F_j)$$ 对于每个 $(\alpha\, , \, \mathbf d)$-设计 $\Phi=(\mathcal F_j)_{j\in\mathbb I_m}$ 成立，其中 $\text{P}_\varphi(\mathcal F)=tr(\varphi(S_{\mathcal F}))$；特别地，$\Phi^{\rm op}$ 在所有 $(\alpha\, , \, \mathbf d)$-设计中最小化联合框架势和联合均方误差。我们证明在这种情况下，对于 $j\in\mathbb I_m$，$\mathcal F_j^{\rm op}$ 是 $\mathbb C^{d_j}$ 的一个框架。这对应于具有能量限制的多任务设备存在最优编码 - 解码方案。