分数$S$-对偶、分数拓扑绝缘体的分类与表面拓扑序

在本文中，我们提出将四维量子电动力学（$\text{QED}_4$）的$S$对偶推广到具有分数电荷激发的$\text{QED}_4$，即分数$S$对偶。此类$\text{QED}_4$可通过规范具有分数电荷的拓扑有序态的$\text{U(1)}$对称性得到。当施加时间反演对称性时，轴子角（$\theta$）可以取一个非平凡但仍是时间反演不变的值$\pi/t^2$（$t\in\mathbb{Z}$）。此处，$1/t$规定了体激发所携带的最小电荷。这种具有时间反演和$\text{U(1)}$全局对称性（费米子数守恒）的态即为分数拓扑绝缘体（FTI）。我们提出了一种拓扑量子场论描述，从微观上证明了分数$S$对偶的合理性。接着，我们考虑FTI之间的堆叠操作（即哈密顿量的直和）。我们发现FTI在拓扑上分为两类：I型和II型。I型（$t\in\mathbb{Z}_{\rm odd}$）可通过直接堆叠一个非相互作用拓扑绝缘体和一个最小电荷为$1/t$、$\theta$消失的分数化带隙费米子态得到。但II型（$t\in\mathbb{Z}_{\rm even}$）无法通过任何堆叠实现。最后，我们研究了分数拓扑绝缘体的表面拓扑序。