分数阶物质导数：逐点表示与有限体积数值格式
数值分析
2024-03-01 v1 数值分析
摘要
分数阶物质导数是支配 L\'evy 行走（一种源于著名的连续时间随机游走的随机过程）缩放极限动力学的分数阶算子。它通常被定义为 Fourier-Laplace 乘子，因此可被视为伪微分算子。在本文中，我们证明了分数阶物质导数存在时间和空间上的局部逐点表示。这允许我们在比 Fourier 和 Laplace 变换作为函数存在的原始空间更大的局部可积函数空间上定义它。我们考虑了几个涉及分数阶物质导数的典型微分方程，并提供了其解存在的条件。在某些情况下，可以找到解析解。对于一般的初值问题，我们设计了一种有限体积方法，并证明了其稳定性、收敛性和概率守恒性。数值算例验证了我们的分析结果。此外，我们的数值实验表明，在推导概率密度函数的问题上，所提出的数值格式在计算时间上优于应用的 Monte Carlo 方法。
引用
@article{arxiv.2402.19015,
title = {Fractional material derivative: pointwise representation and a finite volume numerical scheme},
author = {Łukasz Płociniczak and Marek A. Teuerle},
journal= {arXiv preprint arXiv:2402.19015},
year = {2024}
}