$\text{SL}_2$ 倾斜模的张量幂的分形行为

给定一个群 $G$ 和 $G$ 的一个表示 $V$，记 $V^{\otimes k}$ 的不可分解直和项的数量为 $b_k^{G, V}$。给定特征 $p>2$ 的域 $K=\overline{K}$ 上 $\text{SL}_2(K)$ 的一个倾斜表示 $T$，我们证明对于某些 $C, D>0$，有 $Ck^{-\alpha_p}(\text{dim} T)^k < b_k^{T, \text{SL}_2(K)} < Dk^{-\alpha_p}(\text{dim} T)^k$，其中 $\alpha_p=1-(1/2)\log_p(\frac{p+1}{2})$。