特征 $2$ 下自然表示张量幂中 $\mathrm{SL}_2$ 不可分解分量的界

设 $K$ 是特征为 $2$ 的代数闭域，$G$ 是 $K$ 上的代数群 $\mathrm{SL}_2$，$V$ 是 $G$ 的自然表示。设 $b_k^{G,V}$ 表示 $V^{\otimes k}$ 中 $G$ 不可分解因子的个数（按重数计），并设 $\delta = \frac 32 - \frac{\log 3}{2\log 2}$。则存在一个光滑的乘法周期函数 $\omega(x)$，使得 $b_{2k}^{G,V} = b_{2k+1}^{G,V}$ 渐近于 $\omega(k) k^{-\delta}4^k$。我们还对 $G$ 的任意倾斜表示 $W$ 证明了 $b_k^{G,W}$ 的一个下界，形式为 $c_W k^{-\delta}(\dim W)^k$。