李幂与李模的渐近行为

设 $V$ 为有限维 $FG$-模，其中 $F$ 是特征为素数 $p$ 的域，$G$ 是群。我们证明，当 $r$ 不是 $p$ 的幂时，李幂 $L^r(V)$ 具有直和项 $B^r(V)$，它是张量幂 $V^{\otimes r}$ 的直和项，且满足当 $r \to \infty$ 时 $\dim B^r(V)/\dim L^r(V) \to 1$。类似地，对于相同的 $r$ 值，我们得到了 $F$ 上李模 $\Lie(r)$ 的一个投射子模 $C(r)$，满足当 $r \to \infty$ 时 $\dim C(r)/\dim \Lie(r) \to 1$。