傅里叶不确定性原理、尺度空间理论与最平滑平均

设f ∈ L²(Rⁿ)，并假设我们感兴趣于在固定尺度下计算其平均值。这很容易：我们选取一个均值为0且在期望尺度上具有某阶矩的概率分布的密度u，并计算卷积u * f。是否存在一个特别自然的选择u？尺度空间理论研究了这个问题，高斯函数是一个流行的答案。我们感兴趣的是，一个规范的选择u是否能从一个新的公理中产生：在固定尺度后，平均值应尽可能少地振荡，即u = arg min_u sup_{f ∈ L²(Rⁿ)} ‖∇(u * f)‖_{L²(Rⁿ)} / ‖f‖_{L²(Rⁿ)}。这个最优函数原来是一个不确定性原理的极小化子：对于α > 0和β > n/2，存在c_{α,β,n} > 0，使得对所有u ∈ L¹(Rⁿ)，有‖ |ξ|^β · û‖^α_{L^∞(Rⁿ)} · ‖ |x|^α · u‖^β_{L¹(Rⁿ)} ≥ c_{α,β,n} ‖u‖^{α+β}_{L¹(Rⁿ)}。对于β = 1，该不等式的任何非负极值函数都作为上述意义下的最佳平均函数，β ≠ 1对应于其他导数。对于(n, β) = (1,1)，我们使用Shannon-Whittaker公式证明特征函数u(x) = χ_{[-1/2,1/2]}是定义在[-1/2,1/2]上的函数对于α ∈ {2,3,4,5,6}的局部极小化子。我们根据超几何函数₁F₂的符号模式，为一般的α提供了一个充分条件。