Potts模型的种植与MCMC抽样

我们考虑从参数β>0的随机d正则图上的铁磁q状态Potts模型中进行抽样的问题。从该模型中抽样的一个关键困难是存在一个介于β_u和β_u'之间的 metastability窗口，其中分布具有两个竞争模式，即所谓的无序和有序相，导致基于MCMC的算法从最坏情况初始化时混合缓慢。为了此，Helmuth、Jenssen和Perkins设计了一个在q较大时适用于所有β的抽样算法，利用簇展开方法；更近期地，他们的分析技术被改编为显示从更明智的方式初始化时，random-cluster动力学混合快速。然而，簇展开论证背后的瓶颈是它们本质上只适用于大q，而广泛推测的是抽样可能适用于所有q,d≥3。目前唯一适用于一般q,d≥3的结果是Blanca和Gheissari所示的，他们表明当β<β_u时，random-cluster动力学混合快速。在β>β_u的情况下，某些相关现象由于metastability而出现，这些现象尤其对于小q和d而言尤为难以处理。我们的主要贡献是对Potts分布和random-cluster动力学进行细致的分析，超越阈值β_u。我们以种植作为证明中的主要工具，结合random-cluster动力学的分析。我们因此能够表明在β_u之上，对所有整数q,d≥3初始化的random-cluster动力学在唯一性阈值β_u之上快速混合；我们的分析工作进行到唯一性阈值β_c∈(β_u,β_u')的主导模式从无序转换为有序的地方。我们还获得了一个在有序制度β>β_c中工作的算法，这显著细化了q,d的范围。