除数图中的禁忌子图与Erd\H{o}s不可除法问题

Erd\H{o}s 提出要寻找子集 $\{1,\dots,n\}$ 中最大规模 $f(n)$ 的集合，使得其中没有元素除以另一个。我们证明 $f(n)=c_2\,n+o(n)$，其中 $c_2$ 为可有效计算的常数。此外，我们证明该子集个数 $q(n)$ 满足 $q(n)=\beta_2^{n+o(n)}$，其中 $\beta_2$ 为可计算常数。为证明这一点，我们将除法约束转化为禁止除数图中某特定有向子图，并证明更一般的结论：对于任意有限连通的禁止子图族，极值密度和计数速率均可有效计算。该证明利用了 McNew 关于除数图局部统计量的定理。