完全图划分中的图的可整除划分

设 $\mathbb{Z}_q$ 为阶为 $q$ 的循环群。一个 $\mathbb{Z}_q$ 加权的 $K_f$ 是将完全图 $K_f$ 配备权函数 $\omega : E(K_f) \to \mathbb{Z}_q$ 的图。若其划分路径的权重均满足模 $q$ 为零，则称其为 $H$ 在 $\mathbb{Z}_q$ 加权 $K_f$ 中的 $q$ 可整除划分。设 $q\ge 2$ 为整数，$H$ 为具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的图。定义 $s_q(H)$ 为最小整数 $f$，使得每个 $\mathbb{Z}_q$ 加权 $K_f$ 包含 $H$ 的 $q$ 可整除划分。Das、Dragani\'c 和 Steiner 提出问题(见 [Tight bounds for divisible subdivisions, J. Combin. Theory, Ser. B 165 (2024) 1-19])：给定 $q\in\mathbb{N}$ 和一个次三角图 $H$（具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边），是否存在 $s_q(H)= m(q - 1) + n$？他们还建立了上界 $s_q(H)\le 7mq+8n+14q$。本文改进了该上界，证明 $s_q(H)\le (2q - 1)m + 2n - 1 + 4q$，并为素数 $p$ 和连通图 $H$ 给出更精确的上界 $s_p(H)\le \frac{3p - 1}{2}m - \frac{p - 1}{2}n + \frac{p + 1}{2}$。我们证明在 $q=2$ 时，$s_2(H) = m + n$ 对任意 5-退化图 $H$ 成立；在 $q\ge 2$ 且 $T$ 为树时，证明 $s_q(T) = nq - q + 1$。此外，我们证明 $s_2(H,1)= m + n$，其中 $H$ 为 $n$ 顶点、$m$ 条边的树或环。