稠密有向图中 $H$ 子图分解与完美 $H$ 子图瓷砖

给定 $(有向)图 H，我们称$(有向)图 H'$为$H$子图分解，若$H'$通过用一个或多个内部节点互不相交的路径替换$H$中的一条或多条边而得到。Pavez-Signé 猜测：对于任意$\varepsilon>0$，存在常数$C_0>0$，使得对于每个边数为$h$且无孤立点的图$H$，若图$G$具有$n\geq C_0h$个顶点且最小度$\delta(G)\geq(1+\varepsilon)\frac{n}{2}$，则$G$包含一个遍绕$H$子图分解。该猜测后来被 Lee [European J. Combin. \textbf{124} (2025), 104059] 证明。本文加强了 Lee 的结果。具体而言，我们证明：对于任意有向图$D$，若其拥有$n\geq C_0h$个顶点且最小半度至少$\frac{n+h}{2}-1$，则$D$包含一个遍绕$H$子图分解。该下界最佳。进一步，我们证明存在常数$C>0$和$\alpha, \beta\in(0, 1)$，使得对于任意整数划分$n=n_1+\cdots+n_m\geq Cm$且满足$n_i\geq|V(H)|+3h$且$\sum_{n_i<\alpha n}n_i\leq\beta n$，若有向图的阶数为$n\geq Cm$且最小半度至少$\frac{n+m+h}{2}-1$，则其包含$m$个次图$H$子图，其阶数分别为$n_1,\ldots,n_m$。界限$\frac{n+m+h}{2}-1$ 同样最佳。此工作部分回应了 Lee [Combin. Probab. Comput. \textbf{34} (2025), 421--444] 的猜测，并概括了该论文中的近期结果。