基于概率方法的一般加权有向图上 Cucker-Smale 与 Motsch-Tadmor 模型的集群行为

本文讨论了在具有一般通信函数的一般定向加权图上，连续时间 Cucker-Smale 模型与 Motsch-Tadmor 模型的集群现象。我们基于对解的概率解释，提出了一种研究该问题的新方法。我们在对交互矩阵的四种假设下给出了集群结果，并强调了这些结果与某个马尔可夫跳跃过程的全变差收敛性之间的关系。实际上，我们改进了先前关于图存在唯一闭通信类这一最小情形下的结果。考虑邻接矩阵为置乱矩阵或存在正可逆测度这两种特殊情形，我们改进了在最小情形下得到的集群条件。在后一种情形中，我们刻画了渐近速度。我们还研究了层级领导情形，给出了一个新的通用集群条件，该条件能够处理 $\psi(r)\propto(1+r^2)^{-\beta/2}$ 且 $\beta\geq1$ 的情况。对于层级领导假设下的 Motsch-Tadmor 模型，我们展示了一种无论初始条件和通信函数如何，集群现象都会发生的情形，特别是即使 $\beta\geq1$ 时也是如此。