E7 和 E8 不变多项式的平底与 P-矩阵

设 $G$ 是欧几里得空间 $V$ 的紧线性变换群。$G$-不变 $C^\infty$ 函数可以表示为有限基本集的 $G$-不变齐次多项式的 $C^\infty$ 函数，该基本集称为整基。轨道空间 $V/G$ 的数学描述也依赖于整基：它是通过表达 $P$-矩阵的秩和半正定条件的多项式方程和不等式来实现的，其中 $P$-矩阵是由整基确定的实对称矩阵。构成整基的 $G$-不变齐次多项式基本集的选择并不唯一，因此轨道空间的数学描述也不唯一。如果 $G$ 是不可约有限反射群，Saito 等人在1980年刻画了他们称之为{\em 平底}的一些特殊的 $G$-不变齐次多项式基本集。他们还显式地找出了除两个最大的群 $E_7$ 和 $E_8$ 之外所有不可约有限反射群的不变齐次多项式平底基本集。在本文中，显式确定了 $E_7$ 和 $E_8$ 的不变齐次多项式平底基本集及相应的 $P$-矩阵。利用本文报告的结果，人们能够容易地确定 $E_7$ 或 $E_8$ 的任何其他整基所对应的 $P$-矩阵。然后，从 $P$-矩阵可以写出相对于平底基或任何其他整基定义 $E_7$ 和 $E_8$ 轨道空间的方程和不等式。本文获得的结果可具体用于分析研究所有对称群为有限反射群 $E_7$ 和 $E_8$ 之一，或为其伴随表示中的李群 $E_7$ 和 $E_8$ 之一的理论中的对称性破缺。