与 $G$-模板伪等价的光滑 $G$-流形的不动点集

对于非素数幂阶有限群 $G$，Oliver（1996）已回答何种流形可作为 $G$ 在圆盘（相应地，欧氏空间）上光滑作用的不动点集。我们将 Oliver 的结果推广到紧（相应地，开）光滑 $G$-流形 $M$ 伪等价于 $Y$ 的情形，其中 $Y$ 是一个有限 $\mathbb{Z}$-零调 $G$-CW 复形，满足不动点集 $Y^G$ 非空、连通，且 $\chi(Y^G) \equiv 1 \pmod{n_G}$，$n_G$ 为 $G$ 的 Oliver 数。我们证明上述问题的答案不依赖于 $Y$ 的选取。对于满足 $Y^G$ 非空且连通的有限连通 $G$-CW 复形 $Y$（称为 $G$-模板），我们证明紧致稳定可平行化流形 $F$ 作为与 $Y$ 伪等价的紧致光滑 $G$-流形 $M$ 的不动点集 $M^G$，当且仅当 $\chi(F) \equiv \chi(Y^G) \pmod{n_G}$。此外，存在与 $G$-模板 $Y$ 伪等价的紧致光滑无不动点 $G$-流形，当且仅当 $\chi(Y^G) \equiv 0 \pmod{n_G}$。特别地，类似于圆盘上的作用，存在与实射影空间 $\mathbb{R}{\rm P}^{2n}$（整数 $n \geq 1$）伪等价的紧致光滑无不动点 $G$-流形，当且仅当 $G$ 为 Oliver 群。最后，我们证明每个有限 Oliver 群 $G$ 对某个整数 $n \geq 1$ 在 $\mathbb{R}{\rm P}^{2n}$ 自身上有光滑无不动点作用。