离散图与度量图的一阶方法及指数定理

本文旨在引入离散图和度量（“量子”）图上的一阶（超对称）Dirac 算子的概念。为了涵盖相关度量图 Laplacian 的所有自伴边界条件，我们系统地开发了一种作用于装饰图的新型离散图算子。度数为 $d$ 的每个顶点处的装饰由 $\C^d$ 的一个子空间给出，推广了标准顶点空间上的函数仅具有标量值这一事实。利用超对称框架，我们发展了离散和度量情形下的外微分、微分形式、Dirac 算子和 Laplace 算子的概念。我们计算了离散 Dirac 算子的（超对称）指数，推广了涉及图欧拉示性数的标准指数公式。最后，我们证明了度量 Dirac 算子的相应指数与离散情形一致。