空心涡旋的有限时间自相似内爆

在本文中，我们考虑空心涡旋的有限时间爆破。这些是二维欧拉方程的解，其中流体域是有限个若尔当曲线 $\Gamma_1, \ldots, \Gamma_M$ 的补集，且流动是无旋且不可压缩的，但每个边界分量周围具有非零环量。$\Gamma_k$ 所围区域是一个"涡旋核心"，建模为理想气体泡：压力在空间上恒定并与涡旋面积成反比。这可视为等温流动的等压近似。我们的结果分为两部分。存在纯旋转和向内坍缩的空心涡旋的显式族。更准确地说，内爆意味着涡旋核心在有限时间内收缩到原点，同时压力的绝对值同时发散至无穷大。我们证明对于任意 $m \geq 2$，存在近圆形的 $m$ 重对称旋转空心涡旋。相比之下，对于所有 $m \geq 2$，纯向内坍缩的涡旋在所有具有无穷远处均匀速度的坍缩涡旋中是局部唯一的。第二部分涉及多个空心涡旋的配置。点涡旋在有限时间内坍缩到同一点的经典存在性已被证明。我们证明一般情况下，这些可以被奇点消去，从而产生展现有限时间自相似内爆的空心涡旋配置族。给出了向内坍缩的三涡旋和四涡旋的具体例子。