有限厚度球模型中的有限尺寸效应

本文详细分析了有限厚度 $L$ 的薄膜几何结构中受限的 $d$ 维平均球模型体临界行为中的有限尺寸效应。沿有限方向施加了不同类型的边界条件：周期性 $(p)$、反周期性 $(a)$ 以及具有狄利克雷 $(D)$、诺伊曼 $(N)$ 和两者组合 $(ND)$ 的自由表面。提出了一种系统方法来评估不同边界条件下自由能的有限尺寸修正。计算了任意 $d$ 下的自由能密度和球场方程。发现对于 $2<d<4$，仅在 $(p)$ 和 $(a)$ 边界条件下，自由能的奇异部分在体临界温度处才具有所需的有限尺寸标度形式。对于其余边界条件，标准有限尺寸标度假设不成立。在 $d=3$ 时，估算了自由能奇异部分的临界振幅（即所谓的卡西米尔振幅）。我们得到 $\Delta^{(p)}=-2\zeta(3)/(5\pi)=-0.153051...$，$\Delta^{(a)}=0.274543...$ 和 $\Delta^{(ND)}=0.01922...$，这意味着在 $(p)$ 情况下表面间存在涨落诱导的吸引力，而在其他两种情况下为排斥力。对于 $(D)$ 和 $(N)$，我们发现其对 $L$ 具有对数依赖关系。