零温下二维 $XY$ 模型磁化强度分布标度律的有限尺寸修正

通过探索大 $L$ 极限下居中且归一化的磁化强度 $y$ 的分布 $\Phi_L(y)$，研究了 $L \times L$ 平方格点上的零温经典 $XY$ 模型。利用早先工作中已知的累积量生成函数的积分表示，对 $\Phi_L(y)$ 进行数值评估，并高精度获得了极限分布 $\Phi_{L \rightarrow \infty} (y) = \Phi_0(y)$。从数值和计算分析两方面提取了两个主导的有限尺寸修正 $\Phi_L (y) -\Phi_0 (y) \approx a_1(L)\, \Phi_1(y) + a_2(L)\,\Phi_2(y)$。我们发现振幅 $a_1(L)$ 按 $\ln(L/L_0) /L^2$ 缩放，且形状修正函数 $\Phi_1 (y)$ 可通过极限分布的低阶导数表示为 $\Phi_1 (y) = [\,y\, \Phi_0 (y) + \Phi'_0 (y)\,]'$。第二有限尺寸修正的振幅 $a_2(L)\propto 1/L^2$，并且人们发现对于小系统尺寸（$L> 10$）已有 $a_2\,\Phi_2(y) \ll a_1 \,\Phi_1(y)$。我们通过执行低温（包括 $T = 0$）下 $XY$ 模型的模拟，说明了观测所计算有限尺寸修正的可行性。