平均场动力学中的有限尺寸与关联诱导效应

大脑活动的特征在于大量受噪声强烈影响的神经元之间的相互作用。然而，信号常常在宏观尺度上出现，将许多神经元的影响整合为可靠的活动模式。为了研究这样的大型神经元集群，人们常常推导平均场极限，将大量神经元相互作用的总和概括为一个有效信号。经典的平均场方法考虑一个确定性变量（平均活动）的演化，从而忽略了神经行为的随机性。本文基于两种近期方法，这些方法在平均场方程中包含了关联和高阶矩，并研究了这些随机效应如何影响平均场方程的解，既在无穷多神经元极限下，也在大但有限的网络中。我们引入了一个新模型——无穷模型，该模型通过变量重标度从两个方程中导出，对于有限尺寸网络是可逆的，因此提供了与先前推导模型等价的方程。对该模型的研究使我们能够理解此类大规模网络的定性行为。我们表明，尽管确定性平均场方程的解构成了新平均场方程的非关联解，但极限环的稳定性性质因关联的存在而改变，并且当平均场中不存在时，会出现包括周期轨道在内的额外非平凡行为。随后在有限尺寸网络中探索了所有这些行为的起源，其中出现了有趣的介观尺度效应。这项研究使我们证明，无穷尺寸系统表现为网络方程的奇异极限，并且对于任何有限网络，系统都将与无穷系统不同。