有限群扩张与 Atiyah 猜想

离散群 G 的 Atiyah 猜想陈述如下：若 G 无挠，则具有基本群 G 的有限 CW 复形的 $L^2$-Betti 数是整数；一般而言，它们是有理数，其分母由 G 的有限子群决定。此处我们建立了这样的条件：在这些条件下，群 G 的 Atiyah 猜想蕴含 G 的每个有限扩张的 Atiyah 猜想。最重要的要求是，对每个素数 p，上同调 $H^*(G,\mathbb{Z}/p)$ 同构于 G 的 p 进完备的上同调。还需要一个附加假设，例如下中心列或导出列的quotient 无挠。我们证明这些条件为一类群所满足，该类群包含 Artin 纯辫群、自由群、曲面群、某些链环群以及单关系群。因此这些群的每个有限扩张，事实上是每个初等顺从扩张，都满足 Atiyah 猜想。在证明过程中我们证明，若这些扩张无挠，则它们具有大量非平凡无挠商群，这些商群是 virtually 幂零的。所有这一切特别适用于 Artin 全辫群，从而回答了 http://www.grouptheory.info 上的问题 B6。我们的方法也适用于 Baum-Connes 猜想。这在 arXiv:math/0209165 “Finite group extensions and the Baum-Connes conjecture” 中讨论，其中证明了例如全辫群的 Baum-Connes 猜想。