FJ群关于无限循环群的拓扑刚性

我们称一个群为FJ，如果它满足系数为$\mathbb Z$的$K$-理论与$L$-理论 Farrell-Jones 猜想。我们证明如果$G$是FJ，则简单的 Borel 猜想（在维数$\ge 5$时）对每一个形如$G\rtimes\mathbb Z$的群成立。如果另外有$Wh(G\times \mathbb Z)=0$（这对所有已知的无挠FJ群都成立），则边界 Borel 猜想（在维数$n\ge 5$时）对$G\rtimes\mathbb Z$成立。证明这些刚性结果的关键要素之一是另一个主要结果，即如果一个无挠群$G$满足系数为$\mathbb Z$的$L$-理论 Farrell-Jones 猜想，则任意半直积$G\rtimes\mathbb Z$也满足系数为$\mathbb Z$的$L$-理论 Farrell-Jones 猜想。我们的结果实际上更一般，并蕴含系数为加法范畴的$L$-理论 Farrell-Jones 猜想在无挠群的扩张下封闭。这使我们能够扩展满足 Novikov 猜想的群类。