非局部断裂模型的有限元逼近

我们考虑非局部非线性势，并估计时间步进格式对近场动力学运动方程的收敛速率。我们首先建立任意有限时间区间上 $H^2$ 解的存在性。这里考虑采用有限元插值进行空间逼近。建立了相应半离散时间步进格式的能量稳定性，并研究了利用 $H^2$ 解的有限元插值对演化方程强形式和弱形式的逼近。证明了强形式和弱形式的逼近在均方范数下以速率 $C_t\Delta t +C_s h^2/\epsilon^2$ 收敛到实际解，其中 $h$ 为网格尺寸，$\epsilon$ 为非局部相互作用尺度，$\Delta t$ 为时间步长。常数 $C_t$ 和 $C_s$ 与 $\Delta t$ 和 $h$ 无关。在无非线性情况下，推导了中心差分时间离散格式能量稳定性的类 CFL 条件。