3x3 博弈中的虚拟博弈：周期性与混沌行为之间的转变

在 20 世纪 60 年代，Shapley 提供了一个具有周期性行为的双人虚拟博弈示例。在该博弈中，玩家 $A$ 旨在模仿 $B$ 的行为，而玩家 $B$ 旨在比玩家 $A$ 领先一步。在本文中，我们通过引入外部参数推广了 Shapley 的示例。我们表明，Shapley 示例中的周期性行为在某个临界参数值处瓦解为不可预测的（混沌）行为，玩家在多种策略之间频繁摇摆。在另一个临界参数处，动力学再次变为周期性，且双方玩家都旨在比对方领先一步。我们研究了双人连续时间双矩阵虚拟博弈的动力学，该动力学属于一个单参数 $3 \times 3$ 博弈族，其中包含了著名的 Shapley 示例作为特例。在本文中，我们采用几何（动力系统）方法研究简单周期轨道的分岔。此处我们专注于周期性行为，而在后续工作中将描述混沌行为。