FI-KAN：分形插值 Kolmogorov-Arnold 网络

Kolmogorov-Arnold 网络 (KAN) 采用 B 样条基函数于固定网格上，缺乏针对非光滑函数近似的内在多尺度分解。我们引入分形插值 KAN (FI-KAN)，将可学习的分形插值函数 (FIF) 基函数从迭代函数系统 (IFS) 理论中引入到 KAN 中。提出两种变体：纯 FI-KAN (Barnsley, 1986) 用 FIF 基函数完全取代 B 样条；混合 FI-KAN (Navascues, 2005) 保留 B 样条路径并添加可学习的分形校正。IFS 收缩参数赋予每条边可学习的分形维度，以适应训练期间目标规律性。在 Holder 规律性基准测试中 ($\alpha \in [0.2, 2.0]$)，混合 FI-KAN 在所有规律性水平上均优于 KAN（提升 1.3 倍至 33 倍）。在分形目标上，FI-KAN 在均方误差 (MSE) 上相较 KAN 最高提升 6.3 倍，在 5 dB 信噪比下保持 4.7 倍优势。在非光滑 PDE 解（scikit-fem）中，混合 FI-KAN 对粗糙系数扩散问题提升最高达 79 倍，对 L 形域拐角奇异问题提升 3.5 倍。纯 FI-KAN 的互补行为——在粗糙目标上优势显著，而在光滑目标上表现不足——提供了基函数几何与目标规律性匹配的可控证据。分形维度正则化器提供可解释的复杂度控制，其学习得到的值恢复了每个目标的真实分形维度。这些结果确立了规律性匹配的基函数设计作为神经函数近似的原则策略。