Fermi--Pasta--Ulam--Tsingou 问题：从 Boltzmann 统计到 $q$-统计的转变

Fermi-Pasta-Ulam (FPU) 一维哈密顿量包含一个四次项，该项保证了系统在热力学极限下的遍历性。相应地，Boltzmann 因子 $P(\epsilon) \sim e^{-\beta \epsilon}$ 描述了其单体能量的平衡分布，其速度分布为 Maxwell 分布，即 $P(v) \sim e^{- \beta v^2/2}$。我们在此考虑一个广义系统，其中格点间的四次耦合常数以 $1/d_{ij}^{\alpha}$ $(\alpha \ge 0; d_{ij} = 1,2,\dots)$ 的形式衰减。通过第一性原理分子动力学，我们证明，对于较大的 $\alpha$（高于 $\alpha \simeq 1$），即短程相互作用，Boltzmann 统计（基于可加熵泛函 $S_B[P(z)]=-k \int dz P(z) \ln P(z)$）成立。然而，对于较小的 $\alpha$ 值（低于 $\alpha \simeq 1$），即长程相互作用，Boltzmann 统计显著失效并被 q-统计（基于非可加熵泛函 $S_q[P(z)]=k (1-\int dz [P(z)]^q)/(q-1)$，其中 $S_1 = S_B$）取代。事实上，单体能量分布为 q-指数，$P(\epsilon) \sim e_{q_{\epsilon}}^{-\beta_{\epsilon} \epsilon} \equiv [1+(q_{\epsilon} - 1) \beta_{\epsilon}{\epsilon}]^{-1/(q_{\epsilon}-1)}$ 且 $q_{\epsilon} > 1$，其速度分布由 $P(v) \sim e_{q_v}^{ - \beta_v v^2/2}$ 给出且 $q_v > 1$。此外，在较小的误差范围内，我们验证了 $q_{\epsilon} = q_v = q$，当 $\alpha$ 从零增加到 $\alpha \simeq 1$ 时，$q$ 从外推值 q $\simeq$ 5/3 减小到 q=1，此后保持 q = 1。