循环的 Feller 耦合与 Poisson 间隔
概率论
2020-11-16 v2
摘要
Feller (1945) 提供了 [n] 上均匀随机排列中各种大小循环的计数与 n 次独立 Bernoulli 试验（第 n 次试验成功概率为 1/n）中成功间隔之间的一个耦合。Arratia、Barbour 和 Tavaré (1992) 扩展了 Feller 的耦合，将由 Ewens (θ) 分布控制的随机排列的循环与源自独立 Bernoulli 试验（第 n 次试验成功概率为 θ/(n-1+θ)）的间隔联系起来，并得出结论：在此类试验的无限序列中，长度为 ℓ 的间隔数是均值为 θ/ℓ 的独立 Poisson 变量。Ignatov (1978) 通过将 Bernoulli (1/n) 试验构造为 i.i.d. 均匀 [0,1] 变量序列中记录值的指示变量，首次在均匀情形 θ = 1 下发现了这一显著结果。在本文中，非齐次 Bernoulli 间隔的 Poisson 性质通过对一般 θ > 0 情形下 Ignatov 方法的一个变体得以解释。此外，我们的方法自然地提供了无限集合上的随机排列，其循环计数恰好由独立的 Poisson 随机变量给出。
引用
@article{arxiv.1907.09587,
title = {Feller coupling of cycles and Poisson spacings},
author = {Joseph Najnudel and Jim Pitman},
journal= {arXiv preprint arXiv:1907.09587},
year = {2020}
}