Bézier 曲线的快速细分

众所周知，使用著名的 de Casteljau 算法可以在 $O(dn^2)$ 时间内将 $d$ 维 $n$ 次 Bézier 多项式曲线细分为两段。这个问题能更高效地解决吗？在本文中，我们展示了利用快速傅里叶变换及其逆变换，可以在 $O(dn\log{n})$ 时间内完成此操作。实验表明，由于算法在数值上不稳定，直接应用新方法仅在 $n$ 值较小时表现良好。然而，一个稍作修改的版本——其计算复杂度仍为 $O(dn\log{n})$——提供了良好的数值质量，这一点在 \textsf{Python} 中进行的数值实验中得到了证实。此外，新方法具有良好的特性：如果 Bézier 曲线通过附加控制点进行扩展，则细分可以在 $O(d)$ 时间内更新。类似的思想可用于加速有理 Bézier 曲线和矩形 Bézier 曲面的细分，以及更高效地计算 Bézier 曲线的导数。