快而狂：关于 cops-and-robber 游戏中的单调性与速度的研究

本文研究了围绕警察/小偷游戏中警察/小偷/单调性的不同变体。我们研究了可见和隐形小偷以及小偷懒惰的变体后者只能在警察通知其在其上方移动时才能移动。在这四种组合中，我们也变更小偷在单轮内可以遍历的边数 $s$，称为速度。我们通过展示除了主动变体外，visible lazy 变体也具有警察/单调性和小偷/单调性属性，来完成了对无界速度情况的研究。此外，我们证明警察/单调隐形懒惰警察宽度特征化了路径宽度，而非/单调和小偷/单调则已知特征化了树宽度，从而这些变体即使在无界速度情况下也存在差异。我们发现即使限制了速度，警察/单调隐形警察宽度和小偷/单调隐形主动警察宽度也都特征化了路径宽度。另一方面，我们展示了图的路径宽度可以远大于非/单调隐形主动变体所需的警察数量。为完成对警察/单调变体的研究，我们证明 visible 变体中警察/单调警察宽度也可能远大于非/单调。在小偷/单调性方面，对于所有速度 $s\geq 4$，我们给出警察宽度在非/单调和小偷/单调之间存在差异的图。另一方面，我们证明存在一个函数将小偷/单调警察宽度以非/单调警察宽度和速度的函数界定，从而变体之间的差距受到控制。这一证明也表明图类具有有限扩张性当且仅当对于每个速度 $s$，任何小偷/单调懒惰变体中所需警察数量被某个常数 $c(s)$ 所限制。