具有四次特征的 Farkas 恒等式

Farkas 在 \cite{Farkas} 中引入了一个算术函数 $\delta$ 并发现了涉及 $\delta$ 与除数函数之和 $\sigma'$ 的一个恒等式。第一作者与 Raji 在 \cite{Guerzhoy} 中通过引入模素数 $p \equiv 3 \pmod 4$ 的二次特征 $\chi$ 讨论了该恒等式的自然推广。特别地，结果表明，除了 Farkas 考虑的原始情形 $p=3$ 外，Farkas 恒等式的精确类比（在某种精确意义下）仅对 $p=7$ 发生。最近，对于小复合模的二次特征，Williams 在 \cite{Williams} 中使用不同方法找到了有限个类似风格的恒等式。显然，若 $p \not \equiv 3 \pmod 4$，则特征 $\chi$ 要么不是二次的，要么是偶的。在本文中，我们证明在某些条件下，对于偶特征不存在 Farkas 恒等式的类似物。假设 $\chi$ 为奇四次特征，我们给出了与 \cite{Guerzhoy} 惊人相似的结果：Farkas 恒等式的精确类比恰好对 $p=5$ 与 $13$ 发生。