亏格为 $10$ 的 Fano-Mukai 四重形作为 $\mathbb{C}^4$ 的紧化

已知亏格为 $10$ 的光滑 Fano-Mukai 四重形 $V_{18}$ 的模空间维数为一。我们证明任何此类四重形均以两种不同方式作为 $\mathbb{C}^4$ 的完备化。在同构意义下，存在唯一的四重形 $V_{18}^{\mathrm s}$ 受 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$ 作用。群 $\operatorname{Aut}(V_{18}^{\mathrm s})$ 是半直积 $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})\rtimes(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$。此外，$V_{18}^{\mathrm s}$ 是 $\mathbb{C}^4$ 以及 $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$ 的 $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$-等变完备化。将 $V_{18}^{\mathrm s}$ 上的 $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$-作用限制到 $\mathbb{C}^4\hookrightarrow V_{18}^{\mathrm s}$ 会产生一个具有开轨道的忠实表示。在同构意义下，还存在唯一的四重形 $V_{18}^{\mathrm a}$，使得群 $\operatorname{Aut}(V_{18}^{\mathrm a})$ 是半直积 $({\mathbb G}_{\mathrm{a}}\times{\mathbb G}_{\mathrm{m}})\rtimes (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$。对于既不同构于 $V_{18}^{\mathrm s}$ 也不同构于 $V_{18}^{\mathrm a}$ 的 Fano-Mukai 四重形 $V_{18}$，有 $\operatorname{Aut}^0 (V_{18})\cong ({\mathbb G}_{\mathrm{m}})^2$，且 $\operatorname{Aut}(V_{18})$ 是 $\operatorname{Aut}^0(V_{18})$ 与一个阶数为 $6$ 的因子的有限循环群的半直积。