亏格为 $10$ 的 Fano-Mukai 四维流形及其自同构群

亏格 10 的 Fano-Mukai 四维流形的自同构群已在我们的前期论文 [arXiv:1706.04926] 中研究过。特别地，我们在 [arXiv:1706.04926] 中找到了这些群的中性分量。在本文中我们完成了对离散部分的描述。在同构意义下，存在两个特殊的亏格 10 的 Fano–Mukai 四维流形，其自同构群分别为 $GL_2(k)\rtimes\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 与 $(\mathbb{G}_a\times\mathbb{G}m)\rtimes\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。对于任何其他的亏格 10 的 Fano-Mukai 四维流形 $V$，除恰好其中一个满足 $\mathrm{Aut}(V)=\mathbb{G}_m^2\rtimes \mathbb{Z}/6 \mathbb{Z}$ 外，均有 $\mathrm{Aut}(V)=\mathbb{G}_m^2\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。