$\mathfrak{sl}_2$ 的简单 2-表示的忠实性

设 $\mathcal U$ 为与 $\mathfrak{sl}_2$ 相关联的 2-范畴。我们证明 $\mathcal U$ 的一个 1-态射复形是同伦零的，当且仅当它在每个简单 2-表示中的像都是同伦零的。在温和的有界性假设下，我们证明实际上只需其在简单 2-表示中的像为非循环即可。我们将此结果应用于对 Rickard 复形 $\Theta$ 的研究，该复形范畴化地实现了 $\mathrm{SL}_2$ 的单反射的作用。我们证明 $\Theta$ 在 $\mathcal U$ 的同伦范畴中是可逆的，并且存在一个同伦等价 $\Theta E \simeq F\Theta[-1]$。